Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+12x﹣30的頂點(diǎn)為A，對稱軸AB與x軸交于點(diǎn)B．在x上方的拋物線上有C、D兩點(diǎn)，它們關(guān)于AB對稱，并且C點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，CB⊥DB．

（1）求出此拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上找出點(diǎn)Q，使它到A、C兩點(diǎn)的距離相等，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）延長DB交拋物線于點(diǎn)E，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△DEP的面積等于△DEC的面積？若存在，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+12x﹣30=﹣（x﹣6）2+6

∴此拋物線的對稱軸為x=6，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（6，6）．

（2）

解：

∵C、D關(guān)于AB對稱，

∴BC=BD，CD∥x軸；

又∵CB⊥DB，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠DCB=45°，即△BCG為等腰直角三角形，CG=BG；

設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，則CG=6﹣a，BG=CG=6﹣a，即C（a，6﹣a），代入y=﹣x2+12x﹣30，得：

6﹣a=﹣a2+12a﹣30，解得：a1=4、a2=9（舍）

∴C（4，2）；

設(shè)Q（6，m），則AQ=6﹣m，CQ=

∵AQ=CQ，

∴6﹣m= ，

解得m=

∴Q（6， ）．

（3）

解：

設(shè)直線DE的解析式：y=kx+b，代入D（8，2）、B（6，0），得：

，

解得

故直線DE：y=x﹣6；

若△DEP的面積等于△DEC的面積，則點(diǎn)C、P到直線DE的距離相等；

①過點(diǎn)C作直線l1∥DE，可設(shè)其解析式為：y=x+b1，代入C（4，2）解得：b1=﹣2；

即：直線l1 y=x﹣2，聯(lián)立拋物線的解析式有：

，

解得 、

故P1（7，5）．

②過點(diǎn)D作DF∥CB，交x軸于點(diǎn)F，則四邊形DCBF為平行四邊形，且有：DF⊥DE，BF=CD=4，即F（10，0）；

過點(diǎn)F作直線l2∥DE，同①易求得直線l2：y=x﹣10，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

，

解得 、

故P2（ ， ）、P3（ ， ）．

綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（7，5）、P2（ ， ）、P3（ ， ）．

【解析】（1）將已知的拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到拋物線對稱軸方程以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）此小題首先要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；對于Rt△CBD來說，C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則CB=BD，那么△CBD是等腰直角三角形，若設(shè)拋物線對稱軸與CD的交點(diǎn)為G，那么△BCG也是等腰直角三角形，可先設(shè)出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再由Rt△BCG的特殊形狀表示出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．拋物線對稱軸已知，設(shè)出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)后，依坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式表示出CQ、AQ的長，由CQ=AQ列出方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）若△DEP、△DEC的面積相等，那么點(diǎn)P與點(diǎn)C到直線DE的距離相同；
①過點(diǎn)C作平行于DE的直線，該直線與拋物線的交點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)P，此時點(diǎn)P、C到直線DE的距離相同；
②過點(diǎn)D作DF∥BC，交x軸于點(diǎn)F，此時四邊形DCBF是平行四邊形，那么DF⊥DE，且DF=BC，那么過點(diǎn)F與直線DE平行的直線與拋物線的交點(diǎn)也是符合條件的點(diǎn)P．