Question

如圖所示，某同學在探究二次函數圖象時，作直線y=m平行于x軸，交二次函數y=x²的圖象于A、B兩點，作AC、BD分別垂直于x軸，發現四邊形ABCD是正方形．
（1）求m的值及A、B兩點的坐標；
（2）如圖所示，將拋物線“y=x²”改為“y=x²-2x+2”，直線CD經過拋物線的頂點P與x軸平行，其它關系不變，求m的值及A、B兩點的坐標．
（3）如圖所示，將圖中的改為“y=ax²+bx+c（a＞0），其它關系不變，請直接寫出m的值及A、B兩點的坐標（用含有a、b、c的代數式表示）
[提示：拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸為x=-

b

2a

]．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是正方形，由拋物線y=x²的對稱性可知，OD=

1

2

AD
∴設點A坐標為（

1

2

m，m），
代入y=x²，
得m=(

1

2

m)2
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴m的值是4，點A的坐標為（2，4），
由拋物線的對稱性，可得B點坐標為（-2，4）；

（2）如圖，
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴拋物線的頂點P坐標為（1，1），
由題意，點A的縱坐標為m，
∴AD=m-1，
設直線CD與y軸交點為Q，
則DQ=

m-1

2

+1=

1

2

m+

1

2

，
∴點A的坐標為（

1

2

m+

1

2

，m），
代入y=x²-2x+2中，
整理得m²-6m+5=0，
解得m₁=1（舍去），m₂=5，
∴m的值為5，點A的坐標為（3，5）
∴由拋物線的對稱性，可求得點B的坐標為（-1，5）；

（3）m=

4ac-b2+16

4a

，
A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
由拋物線y=ax²，求得m=

4

a

，
A、B兩點坐標為A（

2

a

，

4

a

），B（-

2

a

，

4

a

），
把A、B兩點先右移（-

b

2a

）個單位，再上移（

4ac-b2

4a

）個單位，
整理得A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

）．