【題目】如圖，P是邊長為3的等邊△ABC邊AB上一動點，沿過點P的直線折疊∠B，使點B落在AC上，對應點為D，折痕交BC于E，點D是AC的一個三等分點，PB的長為______.
【答案】
或
【解析】
兩種情形：①如圖1中，當AD＝
AC＝1時，設PB＝x，②如圖2中，當AD＝
AC＝2時，利用相似三角形的性質求解即可．
解：兩種情形：①如圖1中，當AD＝AC＝1時，設PB＝x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵∠PDE＝∠B＝60°，∠PDC＝∠PDE+∠EDC＝∠A+∠APD，
∴60°+∠EDC＝60°+∠APD，
∴∠EDC＝∠APD，
∴△APD∽△CDE，
∴
，
∴
，
∴BE＝DE＝
，EC＝
，
∵BE+EC＝3，
∴+＝3，
∴x＝
．
②如圖2中，當AD＝AC＝2時，
由△APD∽△CDE，可得，
∴
，
∴DE＝
，EC＝，
∵BE+EC＝3，
∴
＝3，
∴x＝
，
綜上所述，PB的長為或．
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【題目】如圖①，在
中，
，
，點
、
分別是
、
的中點，連接
.
（1）在圖①中，
的值為______；
的值為______.
（2）若將
繞點
逆時針方向旋轉得到
，點、的對應點為
、
，在旋轉過程中
的大小是否發生變化？請僅就圖②的情形給出證明.
（3）當在旋轉一周的過程中，
，，三點共線時，請你直接寫出線段
的長.
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【題目】如圖在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以AO為半徑的⊙O交AB于D， BD的垂直平分線交BD于F，交BC于E，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠B=30°，BC=
，且AD∶DF=1∶2，求⊙O的直徑．
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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=ABAD，∠ADC=90°，點E為AB的中點．
（1）求證：△ADC∽△ACB．
（2）若AD=2，AB=3，求
的值．
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【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關于t的函數關系式；
（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．
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【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=
．
（1）求過點A，B的直線的函數表達式；
（2）在x軸上找一點D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出的m值；如不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分線（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若（1）中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF．求證：四邊形ABFE為菱形．
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【題目】如圖，反比例函數y＝
（x＞0）的圖象與直線y＝x交于點M，∠AMB＝90°，其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A、B，四邊形OAMB的面積為6．
（1）求k的值；
（2）點P在（1）的反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，若點P的橫坐標為3，在x軸上有一點D（4，0），若在直線y＝x上有動點C，構成△PDC，其面積為3，請寫出C點的坐標；
（3）若∠EPF＝90°，其兩邊分別為與x軸正半軸，直線y＝x交于點E、F，問是否存在點E，使PE＝PF？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
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