Question

在直角坐標系中，y=x²+ax+2a與x軸交于A，B兩點，點E（2，0）繞點O順時針旋轉90°后的對應點C在此拋物線上，點P（4，2）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，點F是線段AC上一動點，作矩形FC₁B₁A₁，使C₁在CB上，B₁，A₁在AB上，設線段A₁F的長為a，求矩形FC₁B₁A₁的面積S與a的函數關系式，并求S的最大值；
（3）如圖2，在（1）的拋物線上是否存在兩個點M，N，使以O，M，N，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點E（2，0）繞點O順時針旋轉90°后得到點C，那么C（0，-2），將它的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據（1）所得拋物線的解析式，即可求出A、B的坐標，在△ABC中，易求得AB、OC的長，而△CC₁F∽△CBA，根據得到的比例線段，即可求得FC₁的表達式，從而根據矩形的面積公式求出S、a的函數關系式．
（3）此題應分作兩種情況考慮：
①以OP為平行四邊形的邊，那么MN平行且相等于OP，可設出點M的坐標，根據O、P的坐標可知M、N的橫坐標的差為4，縱坐標的差為2，可據此表示出點N的坐標，然后代入拋物線的解析式中，即可求得M、N的坐標；
②以OP為平行四邊形的對角線，首先求出OP中點（即平行四邊形對角線的交點）的坐標，設出點M坐標后，仿照①的方法表示出點N的坐標，再代入拋物線的解析式中求得M、N的坐標即可．

解答：解：（1）∵點E（2，0）繞點O順時針旋轉90°后對應點是點C，
∴C（0，-2）；
代入拋物線的解析式中，得：
2a=-2，
即a=-1；
∴該拋物線的解析式為：y=x²-x-2．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）；
則AB=3，OC=2．
∵四邊形A₁B₁C₁F是矩形，則FC₁∥AB，
∴△CC₁F∽△CBA，
得：

2-a

2

=

FC1

3

，
故FC₁=

3

2

（2-a）；
∴S=A₁F•FC₁=a×

3

2

（2-a）=-

3

2

（a²-2a）；
即：S=-

3

2

（a-1）²+

3

2

，
即當a=1時，S_最大=

3

2

．

（3）假設存在符合條件的M、N點，則：
①以OP為平行四邊形的邊長；
設M（a，a²-a-2），則N（a-4，a²-a-4）；
由于N點在拋物線的圖象上，
（a-4）²-（a-4）-2=a²-a-4，
解得a=

11

4

，
故M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）；
②以OP為平行四邊形對角線：先求出OP中點坐標為（2，1），
設M（a，a²-a-2），則N（4-a，-a²+a+4）；
將N點坐標代入拋物線解析式，
得：（4-a）²-（4-a）-2=-a²+a+4，
解得a=3或1，
則M，N的坐標分別為（3，4），（1，-2）或（1，-2），（3，4）；
因此存在符合條件的M、N點，它們的坐標為：
M（

11

4

，

45

16

），N（-

5

4

，

13

16

）或M（-

5

4

，

13

16

），N（

11

4

，

45

16

）或M（3，4），N（1，-2）或M（1，-2），N（3，4）．

點評：此題考查了圖形的旋轉變換、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法以及平行四邊形的判定等重要知識點，在（3）題中，由于OP是平行四邊形的邊還是對角線并不確定，因此一定要分類討論，以免漏解．