Question

(本題10分)如圖 ，直線與軸的交點坐標為A（0,1），與軸的交點坐標為B（-3,0）；P、Q分別是軸和直線AB上的一動

點，在運動過程中，始終保持QA=QP；△APQ沿
直線PQ翻折得到△CPQ，A點的對稱點是點C.
（1）求直線AB的解析式．
（2）是否存在點P，使得點C恰好落在直線AB
上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，
請說明理由.

Answer 1

（1）設直線AB的解析式為，則--------------------2分
解得，即----------------------------------------------1分
（2）分三種情況考慮下
第一種情況（如圖甲）：設P的坐標為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關于直線PQ對稱，并且點A,Q,C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.
根據AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴點C的坐標為（t+1，t）.
∵點C落在直線AB上，
∴，解得.即P的坐標為（2，0）. --------------------------3分
第二種情況（如圖乙）：設P的坐標為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關于直線PQ對稱，并且點A,Q,C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.
根據AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴點C的坐標為（t-1，-t）.
∵點C落在直線AB上，∴，解得.
即P的坐標為（，0）. -------------------------------------------------3分
第三種情況（如圖丙）：
當點P與點B重合時，Q恰好是線段AB的中
點，此時點A關于直線PQ的對稱點C與點A重
合，但A，P，Q三點共線，不能構成三角形，
故不符合題意. ------------------------------1分

 略