Question

（2012•河源二模）已知：如圖所示，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動，且滿足條件S_△PAB=1的點(diǎn)P有幾個？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線y=-x²+bx+c中，列方程組可求拋物線解析式；
（2）由于AB=3-1=2，而S_△PAB=1，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±1，代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)C作拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)C'，根據(jù)拋物線的對稱性求得C′（4，-3），連接直線AC′，求直線AC′的解析式，直線AC′與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M．

解答：解：（1）依題意有

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
∴b=4，c=-3，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3；

（2）如圖，設(shè)P（x，y）
∵AB=2，S_△PAB=1
∴

1

2

×2×|y|=1
∴y=±1
當(dāng)y=1時(shí)，x₁=x₂=2，
當(dāng)y=-1時(shí)，x=2±

2

，
∴滿足條件的點(diǎn)P有三個坐標(biāo)分別為（2，1），（2+

2

，-1），（2-

2

，-1）；

（3）存在．
過點(diǎn)C作拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)C'，
∵點(diǎn)C（0，-3），對稱軸為x=2，
∴C′（4，-3），
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
則

k+b=0 4k+b=-3

，
∴k=-1，b=1，
∴直線AC′的解析式為y=-x+1，
直線AC′與對稱軸x=2的交點(diǎn)為（2，-1），即M（2，-1），
∴存在點(diǎn)M（2，-1），可使△AMC的周長最小．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)面積公式求P點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性求三角形的最小周長．