Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕CE=5

5

，且tan∠EDA=

3

4

．
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊知∠CDE=∠B=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CDO=∠AED，再結(jié)合一對直角，即可證明兩個三角形相似；
（2）首先應(yīng)求得點E的坐標(biāo)，根據(jù)折疊知DE=BE，根據(jù)tan∠EDA=

3

4

，設(shè)AE=3t，則AD=4t，再根據(jù)勾股定理表示出DE=5t，即BE=5t，所以O(shè)C=AB=8t，再根據(jù)（1）中的兩個相似三角形得到CD=10t，從而在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理列方程計算．求得點E的坐標(biāo)后，用待定系數(shù)法求得直線CE的解析式，再進一步求得與x軸的交點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）△OCD與△ADE相似．
理由如下：
由折疊知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∵∠EDA+∠DEA=90°，
∴∠CDO=∠DEA，
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE；

（2）∵tan∠EDA=

AE

AD

=

3

4

，
∴設(shè)AE=3t，則AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t，
由（1）△OCD∽△ADE，得

OC

AD

=

CD

DE

，
∴

8t

4t

=

CD

5t

，
∴CD=10t，
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5

5

）²，
解得t=1，
∴OC=8，AE=3，點C的坐標(biāo)為（0，8），
點E的坐標(biāo)為（10，3），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
∴

10k+b=3 b=8

，解得：

k=- 1 2 b=8

，
∴y=-

1

2

x+8，
令y=0，得到x=16，
則點P的坐標(biāo)為（16，0）．

點評：掌握相似三角形的性質(zhì)和判定，能夠熟練運用勾股定理、銳角三角函數(shù)的概念、待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式．