Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求證：直線CP是⊙O的切線；

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點B到AC的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）4.

【解析】

試題分析：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；

（2）利用銳角三角函數，即勾股定理即可．

試題解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵點D在⊙O上，

∴直線CP是⊙O的切線；

（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

設AF=x，則CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即點B到AC的距離為4．