Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求線段AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD、OD，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，即DC=DB，

∴OD為△BAC的中位線，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四邊形OAED為矩形，

而OD=OA，

∴四邊形OAED為正方形，

∴AE=AO，

∴tan∠ABE= = ；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠FAB=90°，

而∠EAP+∠FAB=90°，

∴∠EAP=∠ABF，

∴tan∠EAP=tan∠ABE= ，

在Rt△EAP中，AE=2，

∵tan∠EAP= = ，

∴EP=1，

∴AP= = ．

【解析】（1）連接AD、OD，根據圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形的直線得DC=DB，所以OD為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，這樣根據切線的判定定理即可得到結論；（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據正切的定義計算tan∠ABE的值；（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE= ，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．