Question

如圖，BC是半圓的直徑，O是圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．
（1）若∠B=30°，問：AB與AP是否相等？請說明理由；
（2）求證：PD•PO=PC•PB；
（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的長．

Answer 1

（1）解：相等．理由如下：
連接AO，
∵PA是半圓的切線，
∴∠OAP=90°
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOP=2∠B=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠B=∠APO，
∴AB=AP．

（2）證明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，
∴PA²=PD•PO
∵PA是半圓的切線，
∴PA²=PC•PB，
∴PD•PO=PC•PB．

（3）解：∵BD：DC=4：1，且BC=10，
∴BD=8，CD=2，
∴OD=3
∵OA²=OD•OP，
∴25=3×OP，
∴OP=，
∴PC=．
分析：（1）可根據度數來求，連接OA，根據切線的性質可得出OA⊥AP，根據圓周角定理可得出∠AOC=60°，因此∠P=∠BC=30°，由此得證．
（2）我們先看給出的比例關系，PC•PB恰好可以用切割線定理得出他們與PA²相等，那么我們再看PA2和PD•PO的關系，在直角三角形PAO中，根據三角形PAD和PAO相似，我們可得出PA²=PD•PO，那么就得出本題的結論．
（3）根據BD、DC的比例關系和BC的長，我們可得出BD和DC的長，也就求出了OD的長，要求出CP的長就要知道PB或PO的長，我們可參照（2）中的方法，用三角形OAD和OAP相似得出OA²=OD•OP從而求出PO的長，也就可以得出CP的長了．
點評：本題主要考查了切線的性質，切割線定理以及相似三角形的判定和性質等知識點，根據相似三角形得出線段間的比例關系是解題的關鍵．