Question

如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以πcm/s的速度沿圓周按順時針方向運動，當點P回到A時立即停止運動．設點P運動時間為t（s）
（1）當t=6s時，∠POA的度數是______；
（2）當t為多少時，∠POA=120°；
（3）如果點B是OA延長線上的一點，且AB=AO，問t為多少時，△POB為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

（1）設∠POA=n°，則

AP

=6π=

nπ×6

180

，
∴n=180．
即∠POA的度數是180．
故答案為180；

（2）當∠POA=120°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的

1

3

（圖中P₁處）或

2

3

（圖中P₂處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動的路程為⊙O周長的

1

3

時，π•t=

1

3

•2π•6，
解得t=4；
當點P運動的路程為⊙O周長的

2

3

時，π•t=

2

3

•2π•6，
解得t=8；
∴當點P運動的時間t為4s或8s時，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：
①當∠POB=90°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的

1

4

（圖中P₁處）或

3

4

（圖中P₂處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動的路程為⊙O周長的

1

4

時，π•t=

1

4

•2π•6，
解得t=3；
當點P運動的路程為⊙O周長的

3

4

時，π•t=

3

4

•2π•6，
解得t=9．
∴當點P運動的時間為3s或9s時，△POB為直角三角形；
②當∠OPB=90°時，如圖，（圖中P₃處）或（圖中P₄處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動P₃處時，連接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等邊三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=

1

6

•2π•6，
解得t=2；
當點P運動P₄處時，連接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等邊三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-

1

6

）•2π•6，
解得t=10．
∴當點P運動的時間為2s或10s時，△POB為直角三角形．
綜上可知，當點P運動的時間為2s或3s或9s或10s時，△POB為直角三角形．