Question

【題目】已知：內接于，，平分.

(1)如圖，求證：為等邊三角形.

(2)如圖，為直徑，點在上，于點，交于點，連接，將繞點逆時針旋轉使點落在上的點處，求證：；

(3)如圖，在(2)的條件下，與交于點與交于點，連接，若的面積，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）連接OA、OC，證明ΔOABΔOBC，根據等邊三角形的性質可得AB=BC，又因AB=AC，即可判定ΔABC為等邊三角形；（2）過點A作AL⊥CD于L，根據等邊三角形的性質可得BD⊥AC，∠ABM=30°，再求得∠ACL=30°，即可判定ΔABMΔACL，由全等三角形的性質可得BM=CL， AM=AL ，再證明RtΔAFMRtΔAGL，即可得FM=GH，由此可得BM-FM=CL-GL，即BF=CG；（3）延長CD至S使得DS=DA，易證ΔADS為等邊三角形，即可證得DQAS，由平行線分線段成比例定理可得AQ:QG=SD:DG=5:3，即可得到DA:DG=5:3；設DA=DC=5k,DG=3k，則CG=BF=2k；計算得，所以，；再證明ΔABFΔACG，可得∠BAF=∠CAG，所以∠FAG=∠FAC+∠CAG=∠FAC+∠BAF=60°，即可判定ΔAFG是等邊三角形；在中，，解得；由，所以；又因，可得；由(2)知，可判定，可得；再求得，所以等邊的面積，解得，所以

(1)證明：連接，

∵，

∴ ， ，

又∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴為等邊三角形；

(2)過點作于，

∵平分，

∴ ， ，

∵是直徑，

∴，

∴，

∵ ，

∴，

∴， ，

又∵，

∴，

∴，

∴，

即；

(3)延長至使得，

易證為等邊，

∵，

∴，

∴，

∴，

設，

則，

計算得，

∴，，

再證明，

∴，

∴，

∴為等邊三角形；

在中，

解得

∵

∴

又∵

∴可證

由(2)知

∴

∴

又∵

∴

等邊的面積

∴

∴

∴