Question

（2012•建寧縣質檢）如圖：△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB與AC、AE分別交于點O、E，連接EC．
（1）求證：AD=EC；
（2）當∠BAC=90°時，求證：四邊形ADCE是菱形；
（3）在（2）的條件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周長．

Answer 1

分析：（1）首先證明四邊形ABDE是平行四邊形，可得AE=BD，再根據DC=DB可得AE=DC，進而證出四邊形ADCE是平行四邊形，可得AD=EC；
（2）當∠BAC=90°時，可證出AD=DC，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形ADCE是菱形；
（3）根據菱形的性質計算出AO=DE=2DO=2a，再根據勾股定理計算出AD的長，進而得到菱形ADCE的周長．

解答：證明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，
∵D是BC中點，
∴DC=DB，
∴AE=DC，AE∥DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AD=EC；

（2）∵當∠BAC=90°時，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AD=

1

2

BC=CD，
∴四邊形ADCE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（3）∵四邊形ADCE是菱形，
∴對角線AC⊥DE且O是DE中點，
∵ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE，
又已知AB=AO
∴AO=DE=2DO=2a，
在Rt△AOD中，可求出AD=

5

a，
∴菱形ADCE的周長為4

5

a．

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質，關鍵是掌握菱形的判定方法與性質定理．