Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當∠ODB=30°時，求證：BC=OD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD⊥AC OD為半徑，

∴ = ，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC

（2）證明：∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°，

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC= AB，

∵OD= AB，

∴BC=OD

【解析】（1）由OD⊥AC OD為半徑，根據垂徑定理，即可得 = ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和垂徑定理的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．