Question

如圖（1），直線y=x與雙曲線y=

k

x

交于點A、C，且OA=OC=

2

．
（1）求點A的坐標和k的值；
（2）以AC為對角線作矩形ABCD交x軸正半軸于B，交x軸負半軸于D，求點B、D坐標；
（3）如圖（2），在（2）的條件下，點B₁、D₁分別在x軸正、負半軸上移動，AD₁交y軸于E，若∠B₁AD₁=∠BAD，則四邊形AB₁，OE的面積S是否會發生變化？若不變求S值，若變化求S的取值范圍．

Answer 1

（1）∵點A在直線y=x上，設A（a，a），a＞0．作AM⊥x軸于M，
∴OM=AM=a，在Rt△AOM中，由勾股定理，得
OM²+AM²=OA²，
∴a²+a²=（

2

）²，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1），同理得C（-1，-1）．
∵點A在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=1．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD=

2

．
∵點B在x軸的正半軸，點D在x軸的負半軸，
∴B（

2

，0），D（-

2

，0）

（3）S值不變，為1．
作AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，
∴AM=AN=1，在矩形ABCD中∠BAD=90°，
∴∠B₁AD₁=∠BAD=90°，
∵AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，OM⊥ON，
∴∠MAN=90°，
∴∠B₁AM=∠EAN，
∵AM=AN，∠AMB₁=∠ANE=90°，
∴△B₁AM≌△EAN，
∴S_△B1AM=S_△EAN，
∴S_△B1AM+S_{四邊形AEOM}=S_△EAN+S_{四邊形AEOM}，
∴S_{四邊形ANOM}=S_{四邊形AEOB1}=AM•AN=1．