Question

【題目】如圖所示，∠MON=45°，點P是∠MON內一點，過點P作PA⊥OM于點A、PB⊥ON于點B，且PB=2 ．取OP的中點C，聯結AC并延長，交OB于點D．

（1）求證：∠ADB=∠OPB；
（2）設PA=x，OD=y，求y關于x的函數解析式；
（3）分別聯結AB、BC，當△ABD與△CPB相似時，求PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，∵PA⊥OM，CO=CP，

∴CO=CP=CA，

∴∠CAO=∠COA，

過A作AE⊥OB于E，

∵∠MON=45°，

∴∠AOE=∠OAE=45°，

∴∠POB=∠DAE，

∵PB⊥OB，

∴∠ADB=∠OPB

（2）

解：如圖1，

延長BP交OM于F，

∵BP⊥ON，PA⊥OM，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∵∠MON=45°，

∴∠AFB=45°，

在Rt△APF中，AP=x，∠OFB=45°，

∴PF= x，

∴BF=PF+PB= x+2 = （x+2），

在Rt△OBF中，OB=BF= （x+2）

延長AP交ON于G，

同理：PG= PB=4，

∴OA=AG=AP+PG=x+4，

過點A作AE⊥ON，

∴OE=AE= OA= （x+4），

∴DE=OE﹣OD= （x+4）﹣y

由（1）知，∠ADE=∠OPB，

∵∠AED=∠OBP=90°，

∴△ADE∽△OPB，

∴ ，

∴ ，

∴y=

（3）

解：如圖2，

在Rt△OAP中，點C是OP中點，

∴AC=OC= OP，

在Rt△OBP中，點C是OP中點，

∴BC=OC= OP，

∴AC=BC，

∵AC=OC，

∴∠ACP=2∠AOP，

∵OC=BC，

∴∠BCP=2∠BOP，

∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，

∴∠BAC=∠CAB=45°，

∵∠OBP=90°，

∴∠OBC+∠ABP=45°

∵當△ABD與△CPB相似時，

∵∠ADB=∠CPB，

∴∠ABD=∠PBC，

∴∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，

∵OC=BC，

∴∠BOC=∠OBC=22.5°，

∴∠AOP=∠BOP，

∴OP是∠MON的角平分線，

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA=PB=2

【解析】（1）先判斷出∠DAE=∠POB，再利用等角的余角相等即可得出結論；（2）先利用等腰直角三角形的性質得出OB=BF= （x+2），同理得出OA=x+4，即可得出AE，OE，進而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化簡即可得出結論；（3）先利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形外角的性質判斷出△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP=45°，再用△ABD與△CPB得出，∠ABD=∠PBC，即∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，進而得出OP是∠MON的平分線即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對直角三角形斜邊上的中線的理解，了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．