Question

如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求證：MN是半圓的切線．
（2）求證：FD=FG．

Answer 1

分析：（1）欲證明MN是半圓的切線，只需證得∠MAB=90°，即MA⊥AB即可；
（2）根據圓周角定理推論得到∠ACB=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，則∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是
∠1=∠4，利用對頂角相等易得∠1=∠2，則有FD=FG．

解答：證明：（1）如圖，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∴MA⊥AB．
∴MN是半圓的切線．

（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端點，并且與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理及其推論、三角形外角的性質以及等腰三角形的判定．