Question

【題目】已知：內接于，直徑交邊于點，．

（1）如圖所示，求證：；

（2）如圖所示，過點作于H，交于，交于點，連接，求證：；

（3）如圖所示，在（2）的條件下，延長至點，連接、，過點作于，射線交于點，交于點，連接，，若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5

【解析】

（1）通過證明△AEC≌△BEC，得到；

（2）連接DB，AG，由（1）知CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，再根據等角的余角相等和同弧所對的圓周角相等可得到∠GBA=∠BGD，∠GAB=∠BDG，進而證明△DBG≌△AGB（AAS），即可得到GD=AB；

（3）根據AM⊥OB，結合前兩問結論，易證，，再根據AAA證明△ABK∽△CBA，△CAB∽△PAC，設半徑為r，則AC=AE=，由得，可求得，則，再由PN=AN=，則，由，可求得．

解：（1）證明：∵CD為直徑，，

∴CD⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

在△AEC和△BEC中，

，

∴△AEC≌△BEC，

∴；

（2）連接DB，AG，

∵BG⊥AC，

∴∠HBA+∠HAB=90°，

由（1）知，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，

∴∠CAB+∠ACE=90°，

∴∠HBA=∠ACE，

∴∠GBA=∠BCD=∠BGD，

又∵∠GAB=∠BDG，

∴在△DBG和△AGB中，

,

∴△DBG≌△AGB（AAS），

∴GD=AB；

（3）連接BD，過點P作PQ⊥AN的延長線于N，

∵OD是的半徑，AE=BE，

∴OD⊥AB，

∵∠CFB為△CHF的外角，

∴∠CFB=∠CHF＋∠HCF=90°＋∠HCF，

∵∠CFB為△FEB的外角，

∴∠CFB=∠FEB+∠FBE=90°+∠FBE，

∴∠HCF=∠ABD，

∵∠HCF=∠ACD=∠ABD，

∴∠FBE=∠ABD，

∵∠BEF=∠BED，∠FBE=∠ABD，BE=BE，

∴△BFE≌△BDE，

∴FE=DE，

∵OF=AE，AE=BE，

∴OF=BE，

設FE=ED=a，OF=BE=b，

∴，

在Rt△OEB中，，

∴，

解得：，或（舍去），

∴，，

∴，，

∵，

∴∠KAB=∠EOB=2∠OCB=∠ACB，

而∠KBA=∠ABK，

∴△ABK∽△CBA，

∴∠KAB=∠ACB，

又∵AN=NP，

∴∠KAB=∠APN，

∴∠ACB=∠APN，

而∠CAB=∠PAC，

∴△CAB∽△PAC，

設半徑為r，

則AC=AE=，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵PN=AN=，

則，，

∴，

得：，

∴．