Question

【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C在一條直線上,△ABD,△BCE均為等邊三角形,連接AE和CD,AE分別交CD,BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)Q,連接PQ,BM,下面的結(jié)論:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ為等邊三角形;④MB平分∠AMC,其中結(jié)論正確的有( )

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①符合題意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②符合題意；
在△ABP和△DBQ中，
∠BAP=∠BDQ AB=DB ∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③符合題意；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，
∵BP=BQ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④符合題意；
綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)；
故應(yīng)選：D 。
①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根據(jù)等式的性質(zhì)及平角的定義得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，從而利用SAS判斷出△ABE≌△DBC ；②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠BAE=∠BDC，根據(jù)外角的定義得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根據(jù)等量代換得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根據(jù)ASA判斷出△ABP≌△DBQ，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60° ，從而根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，得出△BPQ為等邊三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，又根據(jù)等弦所對(duì)的圓周角相等得出∠BMP=∠BMQ，從而得出MB平分∠AMC。