Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連結CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點E．

（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是　 　；

在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）可以是等腰三角形，∠AED度數為60°或105°.

【解析】試題分析：（1）由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，則△ACD是直角三角形．

（2）分類討論：當∠CDE=∠ECD時，EC=DE；當∠ECD=∠CED時，CD=DE；當∠CED=∠CDE時，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行計算．

試題解析：解：（1）∵△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=（180°-120°）÷2=30°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°．又∵∠CDE=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴△ACD是直角三角形；

（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

①當∠CDE=∠ECD時，EC=DE，∴∠ECD=∠CDE=30°，∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∴∠AED=60°；

②當∠ECD=∠CED時，CD=DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，∴∠CED=（180°-∠CDE）÷2=（180°-30°）÷2=75°，∴∠AED=180°﹣∠CED=105°；

③當∠CED=∠CDE時，EC=CD，∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠ACB=120°，∴此時，點D與點B重合，不合題意．

綜上所述：△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數為60°或105．