Question

【題目】如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，以D為頂點(diǎn)作∠EDF＝90°，DE，DF分別交AB，AC于E，F(xiàn)，且BE2＋CF2＝EF2，求證：△ABC為直角三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：延長FD到點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，可證得△CDF≌△BDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DBM＝∠C，BM＝CF，由∠EDF＝90°，MD＝FD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EM＝EF；再由BE2＋CF2＝EF2，可得BE2＋BM2＝EM2，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△BEM為直角三角形，再證得BM∥AC，由平行線的性質(zhì)即可證得∠BAC＝90°，結(jié)論得證.

試題解析：

證明：延長FD至M，使MD＝FD，連接MB，ME，如圖所示，

∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，又MD＝FD，∠BDM＝∠CDF，

∴△BDM≌△CDF(SAS)，∴∠DBM＝∠C，BM＝CF，

∵∠EDF＝90°，MD＝FD，∴EM＝EF，

∵BE2＋CF2＝EF2，∴BE2＋BM2＝EM2，

即△BEM為直角三角形，且∠EBM＝90°.

由∠DBM＝∠C知，BM∥AC，∴∠BAC＝180°－∠EBM＝90°，

即△ABC為直角三角形．