Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點A（2，0），B（-2，-4），對稱軸為直線x=-1．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若-3＜x＜3，直接寫出y的取值范圍；
（3）若一元二次方程ax²+bx+c-m=0（a≠0，m為實數）在-3＜x＜3的范圍內有實數根，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據A（2，0），對稱軸為直線x=-1求出拋物線與x軸另一交點坐標，設拋物線交點式，將B（-2，-4）代入求a的值即可；
（2）根據解析式求頂點坐標，可知頂點在-3＜x＜3范圍內，比較頂點縱坐標，x=±3時的函數值，即可確定y的取值范圍；
（3）將一元二次方程ax²+bx+c-m=0看作二次函數m=ax²+bx+c，可知m=y，由（2）可知m的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸的一個交點坐標為A（2，0），對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸另一交點坐標為（-4，0），
設拋物線的交點式為y=a（x+4）（x-2），將B（-2，-4）代入，得
a•（-2+4）•（-2-2）=-4，解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x+4）（x-2），即y=

1

2

x²+x-4；

（2）當x=-1時，y=

1

2

x²+x-4=-4

1

2

，
當x=-3時，y=

1

2

x²+x-4=-2

1

2

，
當x=3時，y=

1

2

x²+x-4=3

1

2

，
∴-4

1

2

≤y＜3

1

2

；

（3）由（2）的結論可知，-4

1

2

≤m＜3

1

2

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式．關鍵是根據對稱軸及拋物線與x軸的一個交點坐標求另一交點坐標，確定拋物線解析式，根據頂點為最低點確定函數值的取值范圍．