Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點A(0，－ )，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，直線l∥AB且過點D.

（1）求AB所在直線的函數表達式；

（2）請你判斷△ABD的形狀并證明你的結論；

（3）點E在線段AD上運動且與點A、D不重合，點F在直線l上運動，且∠BEF=60°，連接BF，求出△BEF面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）△ABD是等邊三角形，（3）

【解析】試題分析：（1）先求得拋物線的解析式，再求得點B、C的坐標，再由待定系數法求出直線AB的解析式；（2）△ABD是等邊三角形，根據已知條件易證△BOA≌△DOA，可得BA=DA，根據銳角三角函數可求得∠ABO=60°，即可判定△ABD是等邊三角形；（3）過點E作EG∥x軸，交AB于點G， 易證△AEG是等邊三角形，可得AE=AG，再證△BEG≌△EFD，可得BE=EF，易得△BEF是等邊三角形 ，當BE⊥AD時，BE的長度最小，則△BEF的面積取最小值，求得△BEF面積的最小值即可.

試題解析：

（1）將點A（0，－ ）代入拋物線解析式中，得c=－，

當y=0時，

化簡得x2－2x－3=0

（x+1）(x－3)=0

x 1=－1, x 2=3

點B （－1，0），點C（3，0）

設直線AB的表達式為y=kx+b，

圖象經過點A（0，－ ），點B （－1，0），

代入得 ，解得

直線AB的表達式為

（2）△ABD是等邊三角形，

點B(－1，0), 點D（1，0）

OB=OD=1，

∵OA是公共邊，∠BOA=∠DOA=90°，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA，

tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

△ABD是等邊三角形

（3）過點E作EG∥x軸，交AB于點G，

∵△ABD是等邊三角形

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°

∴∠AEG=∠AGE=60°

∴△AEG是等邊三角形，

∴AE=AG

∴DE=BG

∵AB∥l

∴∠EDF=∠BGE=120°

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF

∴△BEG≌△EFD

∴BE=EF

又∵∠BEF=60°

∴△BEF是等邊三角形

∴S△BEF=

當BE⊥AD時，BE的長度最小，則△BEF的面積取最小值，

此時，BE=ABsin60°=，

△BEF面積的最小值==