Question

（2013•莆田質檢）新知認識：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別用a，b，c表示，如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．
（1）特殊驗證：如圖1，在△ABC中，若a=

3

，b=1，c=2．求證：△ABC為倍角三角形﹔
（2）模型探究：如圖2，對于任意的倍角三角形，若∠A=2∠B．求證：a²=b（b+c）﹔
（3）拓展應用：在△ABC中，若∠C=2∠A=4∠B．求證：

b

a

+

b

c

=1．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理求得△ABC為直角三角形，然后根據“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得三角形的三個內角，所以根據“倍角三角形”的定義進行證明即可；
（2）根據已知表示各角的度數，再根據正弦定理對式子進行整理，從而得到結論；
（3）利用（2）中的結論進行證明．

解答：證明：（1）如圖1，∵a=

3

，b=1，c=2．
∴c²=a²+b²，c=2b
∴∠C=90°，
∴∠B=30°，
∴∠A=2∠B=60°．
∴△ABC為倍角三角形；

（2）∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC），
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）；

（3）∵在△ABC中，若∠C=2∠A，
∴由（2）中的結論知c²=a（a+b）；
∵2∠A=4∠B，即∠A=2∠B，
∴a²=b（b+c），
∴

b

a

+

b

c

=1．

點評：本題考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的內容，綜合考察的知識點較多，難度較大，解答本題需要同學們能活學活用．