Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y=

1

4

x2+1，點C的坐標為（-4，0），平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q（x，y）在拋物線上，點P（t，0）在x軸上．
（1）寫出點M的坐標；
（2）當四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時．
①求t關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
②當梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求t的值．

Answer 1

（1）∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，
∴A，B的橫坐標分別是2和-2，
代入y=

1

4

x2+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）

（2）①過點Q作QH⊥x軸，連接MC．
∵CM∥PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP∽△OMC，
設垂足為H，則HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：

y

2

=

x-t

4

，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=

1

4

x2+1上，
∴t=-

1

2

x2+x-2．（2分）
當點P與點C重合時，梯形不存在，此時，t=-4，解得x=1±

5

，
當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x=±2
∴x的取值范圍是x≠1±

5

，且x≠±2的所有實數；（2分）
②分兩種情況討論：
（1）當CM＞PQ時，則點P在線段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴點M縱坐標為點Q縱坐標的2倍，即2=2（

1

4

x2+1），解得x=0，
∴t=-

1

2

02+0-2=-2；（2分）
（2）當CM＜PQ時，則點P在OC的延長線上，
∵CM∥PQ，CM=

1

2

PQ，
∴點Q縱坐標為點M縱坐標的2倍，即

1

4

x2+1=2×2，
解得：x=±2

3

；（2分）
當x=-2

3

時，得t=-

1

2

(2

3

)2-2

3

-2=-8-2

3

，
當x=2

3

時，得t=2

3

-8．