Question

【題目】如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．

（1）用尺規將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；
（2）證明圖2中的△ABC與△AEF兩個互補三角形面積相等；
（3）如圖3，在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI．
①已知三個正方形面積分別是17、13、10，在如圖4的網格中（網格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為 、 、 的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．
②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形．

（2）解：如圖2中，延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．

∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，

∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=180°，

∴△AEF和△ABC是兩個互補三角形．

∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，

∴∠EAH=∠BAC，

∵AF=AC，

∴AH=AC，

在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，

∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．

（3）解：①邊長為 、 、 的三角形如圖4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，

∴S六邊形=17+13+10+4×5.5=62．

②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，

∴AM⊥BC，

∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，

∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，

∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，

∴△AEM≌△DBI，

∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，

∴△DBI和△ABC是互補三角形，

∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．

【解析】（1）作BC邊上的中線AD，根據三角形中線的定義知BD=CD，AD=AD,根據領補角的定義+=180,根據互補三角形的定義△ABD和△ADC是互補三角形；
（2）延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．根據正方形的性質AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，根據周角的定義知∠EAF+∠BAC=180°，根據互補三角形的定義得出△AEF和△ABC是兩個互補三角形，根據同角的余角相等得出∠EAH=∠BAC，根據正方形的性質及作的輔助線知AH=AC,進而利用SAS判斷出△AEH≌△ABC，從而根據全等三角形的面積相等得出S△AEH=S△ABC，由根據等底同高的兩個三角形面積相等得出S△AEF=S△AEH，從而得出S△AEF=S△AEH=S△ABC；
（3）①利用勾股定理，結合網格結構畫出邊長為，，的三角形即可；利用割補法求面積即可；②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設∠ABC=x，根據平行線的性質得出AM⊥BC，根據垂直的定義得出∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，根據周角的定義，及等量代換得出∠EAM=∠DBI，從而判斷出△AEM≌△DBI，在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，根據互補三角形的定義知△DBI和△ABC是互補三角形，然后得出結論。

【考點精析】掌握三角形的面積和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．