Question

閱讀材料：
如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r₁，r₂，腰上的高為h，連接AP，則S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

1

2

AB•r₁+

1

2

AC•r₂=

1

2

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解與應用：
如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點，且BE=BC，F為CE上一點，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，試利用上述結論求出FM+FN的長．
（2）類比與推理：
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：
已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r₁，r₂，r₃，等邊△ABC的高為h，試證明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展與延伸：
若正n邊形A₁A₂…A_n，內部任意一點P到各邊的距離為r₁r₂…r_n，請問r₁+r₂+…+r_n是否為定值？如果是，請合理猜測出這個定值．

Answer 1

分析：（1）已知BE=BC，采用面積分割法，S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC得出三角形高的數量關系．
（2）連接PA，PB，PC，仿照面積的割補法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而這幾個三角形的底相等，故可得出高的關系．
（3）問題轉化為正n邊形時，根據正n邊形計算面積的方法，從中心向各頂點連線，可得出n個全等的等腰三角形，用邊長為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n過三角形，以邊長為底，以r₁r₂…r_n為高表示面積，列出面積的等式，可求證r₁+r₂+…+r_n為定值．

解答：解：（1）過E點作EH⊥BC，垂足為H，連接BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=

3 2

2

，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴

1

2

BE×FN+

1

2

BC×FM=

1

2

BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=

3 2

2

．

（2）連接PA，PB，PC，
∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴

1

2

BC•r₁+

1

2

AC•r₂+

1

2

AB•r₃=

1

2

BC•h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）設n邊形的邊心距為r，則：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．

點評：本題主要利用面積分割法，求線段之間的關系，充分體現了面積法解題的作用．