Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF．
（1）猜想OD和DE之間的數量關系，并說明理由；
（2）設OD=t，求OB的長（用含t的代數式表示）；
（3）若點B在E的右側時，△BFE與△OFE能否相似？若能，請你求出此時經過O，A，B三點的拋物線解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）OD=DE，根據A點的坐標即可得出直線OA在第一象限的角平分線上，因此△OCD是等腰直角三角形，OD=CD，根據四邊形CDEF是正方形，因此CD=DE，即OD=DE．
（2）可根據相似三角形ACF和AOB來求解．根據兩三角形相似可得出關于CF，OB，AC，AO的比例關系式，可用t表示出CF，CD即可得出OB的長．
（3）要分兩種情況進行討論：
①∠FOE=∠FBE，此時△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根據（2）的結果即可得出t的值，進而可求出B點的坐標，然后根據O，A，B三點坐標求出拋物線的解析式．
②∠OFE=∠FBE，此時EF²=OE•BE，據此可表示出BE的長，而后仿照①的解法求出t的值，進而根據O，A，B三點坐標來求拋物線的解析式．

解答：解：（1）OD=DE
理由：根據A點的坐標可知：∠AOB=45°，
因此△OCD是等腰直角三角形，
∴OD=CD，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=DE=OD

（2）在直角三角形OCD中，OD=t
因此OC=

2

t
易知OA=2

2

，
∴AC=2

2

-

2

t．
∵CF∥OB
∴△ACF∽△AOB
∴

CF

OB

=

AC

OA

，
即

t

OB

=

2 2 - 2 t

2 2

，OB=

2t

2-t

（3）本題分兩種情況：
①∠FOE=∠FBE，則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=

2t

2-t

，
解得t=

3

2

∴OB=4t=6，即B點坐標為（6，0）
設拋物線的解析式為y=ax（x-6），由于拋物線過A點，則有：
2=a×2×（2-6），a=-

1

4

因此拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x．
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=

t

2

∴OB=OE+BE=2t+

1

2

t=

5

2

t．
∴OB=

2t

2-t

=

5

2

t，
解得t=

6

5

∴OB=3
因此B點的坐標為（3，0）．
則過A，B，O三點的拋物線為y=-x²+3x．
因此△BFE與△OFE能相似，此時過A，O，B三點的拋物線為y=-

1

4

x²+

3

2

x或y=-x²+3x．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．