Question

【題目】已知拋物線=（≠0）與軸交于AB兩點,與軸交于C點,其對稱軸為=1,且A（-1,0）C（0,2）.

（1）直接寫出該拋物線的解析式;

（2）P是對稱軸上一點,△PAC的周長存在最大值還是最小值?請求出取得最值（最大值或最小值）時點P的坐標;

（3）設對稱軸與軸交于點H,點D為線段CH上的一動點（不與點CH重合）.點P是（2）中所求的點.過點D作DE∥PC交軸于點E.連接PDPE.若CD的長為,△PDE的面積為S,求S與之間的函數關系式,試說明S是否存在最值,若存在,請求出最值,并寫出S取得的最值及此時的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) =-++2;(2) P（1,）;(3)見解析.

【解析】分析：

（1）由已知條件易得點B的坐標為（3，0），這樣結合點A、C的坐標即可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可知，AC長度是固定值，點A和點B關于直線x=1對稱，由此可得連接BC交直線x=1于點P，此時△PAC的周長最小，求得直線BC的解析式，即可求得此時點P的坐標；

（3）如圖2，畫出符合題意的圖形，過點D作DF⊥y軸于點F，交對稱軸x=1于點N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可將CF、OF和FD用含m的代數式表達出來，從而可表達出點D和點N的坐標，再用待定系數法求得用含m的代數式表達的DE的解析式，即可表達出點E的坐標和點Q的坐標，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S與m間的函數關系式，將所得解析式化簡、配方即可得到所求答案.

詳解：

（1）∵拋物線=（≠0）與軸交于AB兩點,其對稱軸為=1,且A（-1,0），

∴點B的坐標為（3，0），

∴可設拋物線解析式為：，

∵拋物線和y軸交于點C（0，2），

∴，解得：，

∴，即；

（2）△PAC的周長有最小值，連結ACBC，

∵AC的長度一定,

∴要使△PAC的周長最小,就是使PA+PC最小.

∵點A關于對稱軸=1的對稱點是B點,

∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P（如圖2）,

設直線BC的表達為:=,則有

,解得,∴:=-+2,

把=1代入,得=,

即點P的坐標為P（1,）,

∴△PAC的周長取得最小值,取得最小值時點P的坐標為P（1,）；

（3）如圖2，設DE對稱軸x=1于點Q,

在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.

過點D作DF⊥軸于點F，交對稱軸=1于點N，

∵Rt△CDF∽Rt△CHO，

∴，

∴CF===，OF=CO-CF=2-；

同樣： ，FD===，

∴點D的坐標為D（,2-），

∴N（1，2-）.

∵DE∥BC，

∴可設（過點DE的直線）:=-+，

把D點坐標代入其中，得- +=2-，

解得=2-，

∴：=-+2-，

點E的縱坐標為0，代入其中，解得=3-，

∴E（3-，0）.

∵點Q在對稱軸=1上，把=1代入中，解得=-，

∴Q（1,-）.

PQ=-（-）=,DN=1-，

EH=3--1=2-.

S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH

=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,

化簡得S=-+,

可知S是關于的二次函數.

S存在最大值.

配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值為,

取得最大值時的值為:=.