Question

如圖是瑞典人科赫（Koch）在1906年構造的能夠描述雪花形狀的科赫雪花圖案．圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間長度為底邊分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉．反復進行這一過程，就會得到一個“雪花”樣子的曲線．這是一個極有特色的圖形：在圖形不斷變換的過程中，它的周長趨于無窮大，而其面積卻趨于定值．如果假定原正三角形邊長為a，則可算出下圖每步變換后科赫雪花的周長：C₁=3a，C₂=

 

，C₃=

 

，…，則C_n=

 

．

Answer 1

分析：此題注意首先根據前面幾個圖形找到相鄰周長之間的關系，再進一步得到和第一個圖形的周長之間的關系．

解答：解：觀察發現：第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的

1

3

，
即為

4

3

•3a，
第三個在第二個的基礎上，多了其周長的

1

3

，即為(

4

3

)2•3a，
依此類推，則得到的第n個圖形的周長是第一個周長的(

4

3

)n，
即其周長是(

4

3

)n-1•3a．
故答案為：

4

3

•3a，(

4

3

)2•3a，(

4

3

)n-1•3a．

點評：本題考查了平面圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力，難度較大．