Question

如圖，?ABCD中，∠ADC與∠BCD的平分線分別交AB與F、E．
（1）判斷DF與CE的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=5cm，BC=3cm，求EF的長；
（3）在（2）中，若改變BC的長度，AB=5cm的長度不變．
①能否使E、F重合？若能，請直接寫出BC的長度；若不能，請說明理由；
②能否使E、F成為AB的三等分點？若能，請直接寫出BC的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于平行四邊形鄰角互補，又∠ADC與∠BCD的平分線分別交AB與F、E，所以∠ADC和∠BCD的一半相加為90°，即DF和DE垂直．
（2）由平行四邊形的性質和平分線可知角之間的等量關系，因此BC=BE=3，AE=AF=3，所以EF=AF-AE=1；
（3）①由（2）得，BE=BC=AD=AF，即當E、F重合后E（F）就成為了AB的中點，所以此時BC=

1

2

AB=2.5；
②E、F成為AB的三等分點時，有兩種情況，即E在F的左邊和右邊．但不論E和F位置如何，BC=BE是永遠成立的．E在F左邊時，由于AB=5，所以，AE=EF=FB=

5

3

，所以BE=BC=

10

3

；E在F右邊時，AF=FE=EB=

5

3

，所以BE=BC=

5

3

．

解答：解：（1）在?ABCD中，∵∠ADC+∠BCD=180°，
∵DF、CE分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠FDC+∠ECD=90°，
∴DF⊥CE；

（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC
又∵∠BCE=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC=3，又AB=5，
∴AE=2．
同理AF=AD=3，
∴EF=AF-AE=1cm

（3）①2.5cm；
②

10

3

或

5

3

cm．

點評：本題考查的是利用平行四邊形的性質來解決有關線段相等的證明．