Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）證明：k∈R，直線y=g（x）都不是曲線y=f（x）的切線；
（2）若x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），

f（x）的導數為f′（x）= ，

直線y=g（x）過定點（1，0），

若直線y=g（x）與y=f（x）相切于點（m， ），

則k= = ，即為lnm+m﹣1=0①

設h（x）=lnx+x﹣1，h′（x）= +1＞0，

則h（x）在（0，+∞）遞增，h（1）=0，當且僅當m=1①成立．

與定義域矛盾，故k∈R，直線y=g（x）都不是曲線y=f（x）的切線；

（2）解：f（x）≤g（x）+ ﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，

則x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立m（x）min≤ ．

m′（x）= ﹣k=﹣（ ﹣ ）2+ ﹣k，

當k≥ 時，m′（x）≤0，m（x）在[e，e2]遞減，于是m（x）min=m（e2）= ﹣k（e2﹣1）≤ ，

解得k≥ ，滿足k≥ ，故k≥ 成立；

當k＜ 時，由y=﹣（t﹣ ）2+ ﹣k，及t= 得m′（x）=﹣（ ﹣ ）2+ ﹣k在[e，e2]遞增，

m′（e）≤m′（x）≤m′（e2），即﹣k≤m′（x）≤ ﹣k，

①若﹣k≥0即k≤0，m′（x）≥0，則m（x）在[e，e2]遞增，m（x）min=m（e）=e﹣k（e﹣1）≥e＞ ，不成立；

②若﹣k＜0，即0＜k＜ 時，由m′（e）=﹣k＜0，m′（e2）= ﹣k＞0，

由m′（x）單調性可得x0∈[e，e2]，由m′（x0）=0，且當x∈（e，x0），m′（x）＜0，m（x）遞減；

當x∈（x0，e2）時，m′（x）＞0，m（x）遞增，

可得m（x）的最小值為 +k（x0﹣1），由 +k（x0﹣1）≤ ，可得k≥ （ ﹣ ）

＞ （ ）= ＞ ，與0＜k＜ 矛盾．

綜上可得k的范圍是k≥ ．

【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率，設出切點，構造函數h（x）=lnx+x﹣1，求出導數和單調區間，即可得證；（2）f（x）≤g（x）+ ﹣k（x﹣1）≤ ，可令m（x）= ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]，則x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立m（x）min≤ ．對k討論，當k≥ 時，當k＜ 時，運用單調性，求出最小值，解不等式即可得到所求范圍．