Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，頂點D，C分別在射線AM，BN上運動（點D不與A重合，點C不與B重合），E是AB邊上的動點（點E不與A，B重合），在運動過程中始終保持DE⊥CE．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）當點E為AB邊的中點時（如圖2），求證：DE，CE分別平分∠ADC，∠BCD；
（3）若AD+DE=AB=a，設AE=m，請探究：△BEC的周長是否與m的值有關？若有關請用含m的代數式表示△BEC的周長；若無關請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直角梯形ABCD中∠A為直角，得到三角形ADE為直角三角形，可得出兩銳角互余，再由DE與EC垂直，利用垂直的定義得到∠DEC為直角，利用平角的定義推出一對角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得證；
（2）過E作EF平行于BC，由AD也與BC平行，利用與平行線中的一條直線平行，與另一條也平行，得到EF平行于AD，由E為AB的中點，利用平行線等分線段定理得到F為DC的中點，在直角三角形DEC中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出EF=DF=CF，由EF=DF，利用等邊對等角得到一對角相等，再由兩直線平行內錯角相等，根據AD與EF平行得到一對內錯角相等，等量代換可得出∠ADE=∠FDE，即DE平分∠ADC；同理可得CE平分∠BCD；
（3）△BEC的周長與m的值無關，理由為：設AD=x，由AD+DE=a，表示出DE，再由AE=m，在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出關系式，整理后記作①，由AB-AE=EB，表示出BE，根據（1）得到：△ADE∽△BEC，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，表示出BC與EC，由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周長，提取a-m后，通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用平方差公式化簡后，記作②，將①代入②，約分后得到一個不含m的式子，即周長與m無關．

解答：解：（1）證明：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC；

（2）證明：過點E作EF∥BC交CD于F，如圖2所示：
又AD∥BC，
∴EF∥AD，又E為AB的中點，
∴F是CD的中點，
在Rt△DEC中，EF是斜邊上的中線，
∴EF=CF=DF=

1

2

CD，
∴∠FED=∠FDE，
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠FED，
∴∠FDE=∠ADE，即DE平分∠ADC，
同理可得：CE平分∠BCD；

（3）△BEC的周長與m的值無關，理由為：
設AD=x，由AD+DE=AB=a，得：DE=a-x，又AE=m，
在Rt△AED中，根據勾股定理得：AD²+AE²=DE²，即x²+m²=（a-x）²，
整理得：a²-m²=2ax，…①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得：BE=AB-AE=a-m，
∵由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，即

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

m(a-m)

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

，
∴△BEC的周長=BE+BC+EC=（a-m）+

m(a-m)

x

+

(a-m)(a-x)

x

=（a-m）（1+

m

x

+

a-x

x

）=（a-m）•

x+m+a-x

x

=

(a-m)(a+m)

x

=

a2-m2

x

，…②
把①代入②得：△BEC的周長=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a，
則△BEC的周長與m無關．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質，平行線的判定與性質，分式的化簡求值，利用了轉化及整體代入的數學思想，做第三問時注意利用已證的結論．