Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，點E在邊CD上，在矩形ABCD的左側作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，連接BD，CF，連結AF交BD于點H．

（1）求證：BD∥CF；

（2）求證：H是AF的中點；

（3）連結CH，若HC⊥BD，求a：b的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）a：b=．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質可知∠G=∠DCB=90°，由BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，可知，依據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似可知：△FGC∽△DCB，由相似三角形的性質可知∠FCG=∠DBC，由平行線的判定定理可知：BD∥CF；

（2）如圖1所示：連接AC，交BD于點O．由矩形的性質可知：OC=OA，由平行線分線段成比例定理可知HF=AH；

（3）如圖2所示：連接CH，CA，AC與BD交于點O．由勾股定理可知：FC=b，AC=a，由矩形的對角線的性質可知DB=AC=a，CO=AC=．由（2）可知HO是△AFC的中位線，由三角形中位線的性質可知：HO=．在△BCD中，利用面積法可求得CH=，最后在△COH中，由勾股定理得到：（）2+（）2=（a）2，從而可求得a：b=．

解：（1）∵四邊形ABCD、四邊形ECGF均為矩形，

∴∠G=∠DCB=90°．

∵BC=2CD=2a，CG=2GF=2b，

∴．

∴△FGC∽△DCB．

∴∠FCG=∠DBC．

∴BD∥CF．

（2）如圖1所示：連接AC，交BD于點O．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OC=OA．

又∵FC∥BD，

∴HF=AH．

∴點H是AF的中點．

（3）如圖2所示：連接CH，CA，AC與BD交于點O．

由勾股定理可知：FC==b，AC==a．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴DB=AC=a，CO=AC=．

∵HO是△AFC的中位線，

∴HO=FC=．

∵，

∴CH==．

在△COH中，由勾股定理可知：HO2+CH2=OC2，即（）2+（）2=（a）2．

整理得：a2=．

∴a：b=．