Question

【題目】如圖，在中，為的中點(diǎn)

①用直尺和圓規(guī)在邊上求作點(diǎn)，使得(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

②在①的條件下，如果，那么是的中點(diǎn)嗎？為什么？

Answer 1

【答案】①作圖見詳解，②Q是GN的中點(diǎn)，證明見詳解.

【解析】

①利用尺規(guī)進(jìn)行作圖即可，注意要保留作圖痕跡.

②證明是的中點(diǎn)，根據(jù)①的條件大膽猜想綜合運(yùn)用等角和等邊轉(zhuǎn)換，從而分析證明.

解：①

② 在①的條件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中點(diǎn)，理由如下：

設(shè)PP'交GN于點(diǎn)K，

∵∠G=60°，∠GMN=90°，

∴∠N=90°─60°=30°，

∵點(diǎn)P關(guān)于GN的對稱點(diǎn)是點(diǎn)P'，

∴PK⊥KN，PK=P P'，

∴∠PKN=90°，又∵∠N=30°，

∴PK=PN，PP'=PN，

∵P為MN的中點(diǎn)，

∴PM=PN，PP'=PM，

∴∠PР'M=∠PMР'，

∵∠PK N=90°，∠N=30°，

∴∠NРK=90°-30°=60°，

又∵∠PP'M+∠PMP’=∠NPK，

∴∠PM P'=×60°=30°，又∵∠N=30°，

∴∠PM P'=∠N，QM=QN，

∵∠GMN=90°，∠PM P'=30°，

∴∠GMQ=90°-30°=60°，

又∵∠G=60°，

∴∠GMQ=∠G，

∴QG=QM，又∵QM=QN，

∴QG=QN，Q是GN的中點(diǎn)。