Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為半圓O上的兩點，CD∥AB，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，tanA=．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）猜想四邊形AOCD是什么特殊的四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AOCD是菱形；理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由銳角三角函數得出∠A=60°，證出△OAD是等邊三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再證明△COD是等邊三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，證出OC∥AE，由已知條件得出CE⊥OC，即可得出結論；

（2）由（1）得：△OAD和△COD是等邊三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可證出四邊形AOCD是菱形．

試題解析：（1）連接OD，如圖所示：

∵tanA=，

∴∠A=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠ADO=∠AOD=60°，

∵CD∥AB，

∴∠ODC=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠COD=60°=∠ADO，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AE，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切線；

（2）四邊形AOCD是菱形；理由如下：

由（1）得：△OAD和△COD是等邊三角形，

∴OA=AD=OD=CD=OC，

∴四邊形AOCD是菱形．