Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC延長線上，連接AD，過B作BE⊥AD，垂足為E，交AC于點F，連接CE．

（1）求證：CF=CD；
（2）求證：DADE=DBDC；
（3）探究線段AE，BE，CE之間滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠CAD=90°﹣∠D，

在△BCF和△ACD中， ，

∴△BCF≌△ACD，

∴CF=CD；

（2）證明：∵∠FBC=∠CAD，∠D=∠D，

∴△BED∽△ACD，

∴BD：AD=ED：CD，

∴DADE=DBDC；

（3）BE=AE+ CE，

證明：作CG⊥CE交BE于G，

∵∠BEC=45°，

則∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，

∴∠BGC=135°=∠AEC，EG= CE

在△BCG和△ACE中， ，

∴△BCG≌△ACE，

∴BG=AE，

∴BE=BG+EG=AE+ CE．

【解析】（1）根據三角形內角和定理，求出∠CBF=∠CAD，由對應邊對應角相等，得到△BCF≌△ACD，根據全等三角形的性質得到對應邊CF=CD；（2）根據兩角相等得到△BED∽△ACD，得到比例，得到結論DADE=DBDC；（3）根據對應邊對應角相等，得到△BCG≌△ACE，得到對應邊BG=AE，得出結論BE=BG+EG=AE+CE．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．