Question

【題目】在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB，點 F 是射線 CA 上一點，連接 BF，過 C 作 CE⊥BF，垂足為點 E，直線 CE，AB 相交于點 D．

（1）如圖 1，當點 F 在線段 CA 延長線上時，求證：AB+AD=CF；

（2）如圖 2，當點 F 在線段 CA 上時，連接 EA，求證：EA 平分∠DEB；

（3）如圖 3，當點 F 恰好為線段 CA 的中點時，EF=1，試求△BDE 的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 證明見解析；(3)9

【解析】

（1）根據題意可以得到△ACD≌△ABF，然后根據全等三角形的性質可以證明結論成立．

（2）過A作AM⊥CD于M, 作AN⊥BE于N可證Rt△CAM≌Rt△BAN，得到AM=AN，利用角平分線的判定即可證明；

(3)可證△CAD≌△BAF，設AD=AF=x則CF=AF=x, ，AB=AC=2x，由∠DCA=∠FCE，∠DAC=∠CEF=90°．可得 根據列出方程求出x的值，求出DE、BE的長即可得出答案．

(1)證明：∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠FAB=90°．

∵CE⊥BF

∴∠DEB=90°．

∵∠ADC=∠EDB．

∴∠ACD=∠DBE

在Rt△CAD和Rt△BAF中，

，
∴Rt△CAD≌Rt△BAF，
∴AF=AD
∵AC+AF=CF

∴AB+AD=CF

(2)過A作AM⊥CD于M, 作AN⊥BE于N

∴∠CMA=∠BNA=90°．

∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠FAB=90°．

∵CE⊥BF

∴∠BEC=90°．

∵∠CFE=∠AFB．

∴∠ACD=∠ABF

在Rt△CAM和Rt△BAN中，

，
∴Rt△CAM≌Rt△BAN

∴AM=AN

∵AM=AN, AM⊥CD, AN⊥BE

∴EA平分∠DEB

(3)∵CE⊥BF

∴∠BEC=90°．

∵∠CFE=∠AFB．

∴∠ACD=∠ABF

∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠FAB=90°．

∵AC=AB

∴△CAD≌△BAF

∴AF=AD

設AD=AF=x

∵F為AC的中點

∴CF=AF=x,AC=2x

∴ ，AB=AC=2x

∵∠DCA=∠FCE，∠DAC=∠CEF=90°

∴

∴

∴

解得

∴

∴

∴DE=CD-CE=3

∴

∴