Question

【題目】如圖，是的直徑，過點作的切線，點為上一點，連接與交于點，為上一點，且滿足=，連接．

（1）求證：；

（2）過點作的垂線，垂足為，若，，求的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）．

【解析】

（1）先證明，再證明，最后根據內接四邊形對角互補得出即得；

（2）連接OD，先推出，再根據相似三角形對應邊成比例得出DF=3，最后在中設半徑為R，應用勾股定理列出方程求解即得．

（1）∵AB為直徑

∴

∴

∵為的切線

∴

∴，

∴

∵=

∴

∴

∵在的內接四邊形ADBE中，

∴，即

∴，即

（2）如下圖：連接OD

∵DF⊥AB，AB為直徑，

∴∠DFO=∠AEB = 90°

∵，

∴∠CBD=∠BAD

∵∠DOF=2∠BAD，

∴∠DOF=∠ABE

∴

∴'

∵

∴DF=3

設的半徑為R，則

在中，

即

解得：

所以的半徑長為