Question

閱讀下列材料：
某同學在計算3（4+1）（4²+1）時，把3寫成4-1后，發現可以連續運用平方差公式計算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受啟發，后來在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）的值時，又改造此法，將乘積式前面乘以1，且把1寫為2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
回答下列問題：
（1）請借鑒該同學的經驗，計算：(1+

1

2

)(1+

1

22

)(1+

1

24

)(1+

1

28

)+

1

215

；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式計算：(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)．

Answer 1

分析：（1）在前面乘一個2×（1-

1

2

），然后再連續利用平方差公式計算；
（2）把每個因式逆用平方差公式分解，然后根據乘法結合率和有理數的乘法計算即可．

解答：解：（1）原式=2（1-

1

2

）（1+

1

2

）…（1+

1

28

）+

1

215

，
=2（1-

1

216

）+

1

215

，
=2-

1

215

+

1

215

，
=2；

（2）(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

102

)，
=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

10

）（1+

1

10

），
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×…×

9

10

×

11

10

，
=

1

2

×

11

10

，
=

11

20

．

點評：本題考查了平方差公式的運用，（1）添加2×（1-

1

2

）是解題的關鍵，（2）利用平方差公式拆項后前一項與后一項出現倒數是解題的關鍵，計算中有時利用公式求解運算更加簡便．