Question

【題目】如圖，已知直線y= x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點C，經過A、C兩點的拋物線與軸交于另一點B（1，0）．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）在直線y= x﹣2上方的拋物線上存在一動點D，連接AD、CD，設點D的橫坐標為m，△DCA的面積為S，求S與m的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心，以 為半徑的圓與直線AC相切？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）在y軸的正半軸上存在一點P，使∠APB的值最大，請直接寫出當∠APB最大時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入y= x﹣2得：y=﹣2．

∴C（0，﹣2）．

把y=0代入得： x﹣2=0，解得：x=4．

∴A（4，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x﹣1），將點C的坐標代入得：4a=﹣2，解得：a=﹣ ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2．

（2）

解：過點D作y軸的平行線交AC與E，則點D（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．

∴DE=﹣ m2+ m﹣2﹣（ m﹣2）=﹣ m2+2m．

∴△DAC的面積S= ×4×（﹣ m2+2m）=﹣m2+4m．

∴當m=2時，S的最大值為4．

∴S與m的關系式為S=﹣m2+4m，△DCA的最大面積為4．

（3）

解：∵⊙M與AC相切，

∴△AMC的AC邊上的高為 ．

∵AC=2，OA=4，

∴AC=2 ．

∴S△ACM= ×2 × =4．

當點M在AC的上時，由（2）可知：當m=2．

∴點M的坐標為（2，1）．

當點M在AC的下方時，過點M作y軸的平行線交AC與E，則點M（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．

∴ME=（ m﹣2）﹣（﹣ m2+ m﹣2）= m2﹣2m．

∴△MAC的面積S= ×4×（ m2﹣2m）=m2﹣4m．

∴m2﹣4m=4，整理得：m2﹣4m﹣4=0，解得：m=2+2 或m=2﹣2 ．

∴點M的坐標為（2+2 ， ﹣3）或（2﹣2 ，﹣ ﹣3）．

（4）

解：如圖3所示：過點A作AE⊥PB，垂足為E．

設點P的坐標為（0，a）．依據勾股定理得：AP= ．

設直線BP的解析式為y=kx+a，將點B的坐標代入得：k+a=0，解得：k=﹣a．

∴直線PB的解析式為y=﹣ax+a．

設直線AE的解析式為y= x+b，將點A的坐標代入得： +b=0，解得：b=﹣ ．

∴直線AE的解析式為y= x﹣ ．

將y=﹣ax+a與y= x﹣ 聯立，解得：x= ，y= ．

∴點E的坐標為（ ， ）．

∴AE= ．

∵sin∠APB= ，

∴sin2∠APB= = = = ．

∵a2+ ≥2×a =8，

∴當a= 時，sin∠APB有最大值，解得a=2或a=﹣2（舍去）．

∴當a=2時，∠APB有最大值．

∴P（0，2）．

【解析】（1）先求得C（0，﹣2）、A（4，0），設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x﹣1），將點C的坐標代入可求得a的值；（2）過點D作y軸的平行線交AC與E，則點D（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．則DE=﹣ m2+2m，然后利用三角形的面積公式可得到S與m的函數關系式，然后利用二次函數的性質可得到△DCA的面積的最大值；（3）先依據勾股定理可求得AC的長，然后可得到△ACM的面積=4，當點M在AC的上時，由（2）可知M（2，1）．當點M在AC的下方時，過點M作y軸的平行線交AC與E，則點M（m，﹣ m2+ m﹣2），E（m， m﹣2）．則ME= m2﹣2m，然后可得到S與m的函數關系式，將s=4代入可求得m的值，從而得到點M的坐標；（4）過點A作AE⊥PB，垂足為E．設點P的坐標為（0，a）．依據勾股定理得：AP= ．然后再求得BP、AE的解析式，從而可求得點E的坐標，然后由sin∠APB= ，得到sin2∠APB ，故此當a= 時，sin∠APB有最大值，從而可求得a的值．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．