Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于點E，過點C作CF⊥AB于點F，交AE于點M．點N在邊BC上，且AM＝CN，連結DN．

（1）若AB＝，AC＝4，求BC的長；

（2）求證：AD+AM＝DN．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析

【解析】

（1）證出△ACE是等腰直角三角形，由勾股定理得：AE＝CE＝2，BE＝＝，即可得出結果；

（2）延長AD至G，使DG＝AM，證出四邊形CGDN是平行四邊形，得出CG＝DN，證明△ABE≌△CME，得出AB＝CM，∠B＝∠CME，再證明△ACM≌△GCD，得出∠G＝∠MAC＝45°，證出△ACG是等腰直角三角形，得出AG＝CG，即可得出結論．

（1）解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，

∴∠EAC＝45°，AE＝CE＝＝＝2，

由勾股定理得：BE＝＝＝，

∴BC＝BE+CE＝3；

（2）證明：延長AD至G，使DG＝AM，連接CG，如圖所示：

∵AM＝CN，

∴DG＝CN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD//BC，∠B＝∠ADC，

∴DG∥CN，

∴四邊形CGDN是平行四邊形，

∴CG＝DN，

∵CF⊥AB，

∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA，

∴∠BAE＝∠MCE，

在△ABE和△CME中，

，

∴△ABE≌△CME（AAS），

∴AB＝CM，∠B＝∠CME，

∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，

∴∠AMC＝∠GDC，

在△ACM和△GCD中，

，

∴△ACM≌△GCD（SAS），

∴∠G＝∠MAC＝45°，

∵AD//BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴△ACG是等腰直角三角形，

∴AG＝CG，

∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，

∴AD+AM＝DN．