Question

【題目】在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點M作MN⊥AC于點N，∠EMF=135°．將∠EMF繞點M旋轉，使∠EMF的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答下列問題：

（1）當∠EMF繞點M旋轉到如圖①的位置時，求證：BE+CF=BM；

（2）當∠EMF繞點M旋轉到如圖②，圖③的位置時，請分別寫出線段BE，CF，BM之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（1）和（2）的條件下，tan∠BEM=，AN=+1，則BM=　 　，CF=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）1，1+或1﹣

【解析】

(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點M作MN⊥AC于點N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可證明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM進而得出結論；

（2）①如圖②時，同（1）可證△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，

②如圖③時，同（1）可證△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；

(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分別求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的長，結合（1）（2）的結論對圖①②③進行討論可得CF的長.

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵AM是∠BAC的平分線，MN⊥AC，

∴BM=MN，

在四邊形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，

∵∠ENF=135°，，

∴∠BME=∠NMF，

∴△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵CN=CF+NF，

∴BE+CF=BM；

（2）針對圖2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=NF﹣CF，

∴BE﹣CF=BM；

針對圖3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=CF﹣NF，

∴CF﹣BE=BM；

（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），

∴AB=AN=+1，

在Rt△ABC中，AC=AB=+1，

∴AC=AB=2+，

∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，

在Rt△CMN中，CM=CN=，

∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，

在Rt△BME中，tan∠BEM===，

∴BE=，

∴①由（1）知，如圖1，BE+CF=BM，

∴CF=BM﹣BE=1﹣

②由（2）知，如圖2，由tan∠BEM=，

∴此種情況不成立；

③由（2）知，如圖3，CF﹣BE=BM，

∴CF=BM+BE=1+，

故答案為1，1+或1﹣．