Question

【題目】如圖，已知拋物線 yx2 bxc經過△ ABC 的三個頂點，其中點 A(0，1)，點 B(9，10)，AC∥x 軸，點 P 是直線 AC 下方拋物線上的動點，過點 P 且與 y 軸平行的直線 l 與直線 AB、AC 分別交于點 E、F.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖 1，當四邊形 AECP 的面積最大時，求點 P 的坐標和四邊形 AECP 的最大面積；

（3）如圖 2，當點 P 為拋物線的頂點時，在直線 AC 上是否存在點 Q，使得以 C，P，Q 為頂點的三角形與△ ABC 相似?若存在，請直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，四邊形的面積最大值是，此時；（3）點的坐標為或.

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于x軸的直線上點的縱坐標相等，可得C點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據待定系數法，可得AB的解析式，根據直線上的點滿足函數解析式，可得E點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據等腰直角三角形的性質，可得∠PCF=∠EAF，根據相似三角形的判定，可得關于t的方程，根據解方程，可得答案．

（1）將A（0，1），B（9，10）代入函數解析式，

得 ，解得，

拋物線的解析式y=x2-2x+1；

（2）∵軸，，

∴，

解得，（舍），

即點坐標為，

∵點，點，

∴直線的解析式為，

設，∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴當時，四邊形的面積最大值是，此時；

（3）∵，，，，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴在直線上存在滿足條件得點，設且，，，

∵以，，為頂點的三角形與相似，

①當時，，，解得，；

②當時，∴，，解得，.

綜上所述：當點為拋物線的頂點時，在直線上存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，點的坐標為或.