Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30°

（1）求∠ADC的度數；
（2）如果OE⊥AC，垂足為E，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=6，BC=3，

∴cosB= = ，

∴∠B=60°，

∴∠ADC=60°

（2）解：∵OE⊥AC，

∴AE=CE，

∴OE為△ABC的中位線，

∵AB=6，∠CAB=30°，

∴BC=3

∴OE= BC=

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，理由∠B的余弦可求出∠B=60°，然后根據圓周角定理得到∠ADC=60°；（2）由于OE⊥AC，根據垂徑定理得到AE=CE，則OE為△ABC的中位線，所以OE= BC= ．
【考點精析】利用勾股定理的概念和垂徑定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．