Question

【題目】如圖是一個桌面會議話筒示意圖，中間BC部分是一段可彎曲的軟管，在彎曲時可形成一段圓弧，設圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點B，C分別為切點，已知AB的長10 cm，CD的長為25.2 cm．

(1)如圖①，若話筒彎曲后CD與桌面AM平行，此時CD距離桌面14 cm，求弧BC的長度(結果保留π)；

(2)如圖②，若話筒彎曲后弧BC所對的圓心角度數為60°，求話筒頂端D到桌面AM的距離(結果保留一位小數)．(參考數據：≈1.73)

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）27.8 cm

【解析】

（1）根據線段AB，CD均與圓弧相切，CD距離桌面14cm，AB的長為10cm，可得半徑OC為4cm．再根據弧長公式即可求得弧BC的長度；
（2）過點C作CN⊥DM于點N，得矩形CGHN，則CN∥OB，得∠OCN=∠BOC=60°，根據弧長公式求出半徑，進而可求CG的長，即可求得D到桌面AM的距離．

解：(1)如圖①，∵線段AB，CD均與圓弧相切，

∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，

∴∠BOC=∠OCD=90°．

∵CD距離桌面14 cm，AB的長為10 cm，

∴半徑OC為4 cm．

∴弧BC的長度為=2π(cm)．

(2)如圖②，過點C作CN⊥DM于點N，則CN∥OB．

∴∠OCN=∠BOC=60°．

∵∠OCD=90°，

∴∠NCD=30°，

∴DN=CD=×25．2=12．6(cm)．

過點C作CG⊥OB于點G．

∵弧BC的長度為2π cm，

∴2π=．

∴OB=OC=6 cm，

∴CG=OC·sin60°=6×=3≈5．2(cm)．

∴DM=DN+CG+AB=12．6+5．2+10=27．8(cm)．

故話筒頂端D到桌面AM的距離是27.8 cm．