Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D．

（1）求證：AB是半圓O所在圓的切線；

（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圓O所在圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質，可得OA，根據角平分線的性質，可得OE，根據切線的判定，可得答案；（2）根據銳角三角函數，可得OB的長，根據勾股定理，可得OA的長，根據三角形的面積，可得OE的長．

試題解析：（1）證明：如圖1，

作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∵AB=AC，O為BC的中點，

∴∠CAO=∠BAO．

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴OD=OE，

∵AB經過圓O半徑的外端，

∴AB是半圓O所在圓的切線；

（2）cos∠ABC=，AB=12，得OB=8．

由勾股定理，得AO=4．

由三角形的面積，得S△AOB=ABOE=OBAO，

∴OE==，

即半圓O所在圓的半徑是．