Question

【題目】（探究活動）

（1）問題發現：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與AD之間的一點，連接BE，CE，可以發現∠B+∠C=∠BEC．

請把下面的證明過程補充完整：

證明：過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（　 　）

∴∠C=∠CEF．（　 　）

∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），

∴∠B+∠C=　 　（等量代換）

即∠B+∠C=∠BEC．

（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，試探究∠B、∠C、∠BEC的數量關系并證明；

（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，則∠A=　 　．（直接寫出結論，不用寫計算過程）

Answer 1

【答案】（1）平行與同一條直線的兩條直線互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠BEF+∠CEF；（2）∠B+∠BEC+∠C=360°，理由見解析；（3）20°

【解析】

（1）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；

（2）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；

（3）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可．

（1）過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），

∴EF∥DC（平行與同一條直線的兩條直線互相平行）

∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等）

∵EF∥AB，

∴∠B=∠BEF（同理），

∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）

即∠B+∠C=∠BEC．

故答案為：平行與同一條直線的兩條直線互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠BEF+∠CEF；

（2）∠B、∠C、∠BEC的數量關系是：∠B+∠BEC+∠C=360°

證明：過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC,EF∥AB，

∴EF∥DC，

∴∠B+∠BEF=180°，∠C+∠CEF=180°,

又∵∠BEC=∠BEF+∠CEF

∴∠B+∠C+∠BEC

=∠B+∠C+∠BEF+∠CEF=360°，

即：∠B+∠BEC+∠C=360°

（3） 如圖③，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，

∴∠CEF =180°－∠C =60°

∴∠AEF =∠AEC－∠CEF=20°，
∴∠A=20°

故答案為：20°.