Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y= 的圖象經過點A（2，0）和點B（1，﹣ ），直線l經過拋物線的頂點且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數的表達式；
（2）設拋物線上有一動點P從點B處出發沿拋物線向上運動，其縱坐標y1隨時間t（t≥0）的變化規律為y1=﹣ +2t．現以線段OP為直徑作⊙C．
①當點P在起始位置點B處時，試判斷直線l與⊙C的位置關系，并說明理由；在點P運動的過程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關系？請說明你的理由．
②若在點P開始運動的同時，直線l也向上平行移動，且垂足Q的縱坐標y2隨時間t的變化規律為y2=﹣1+3t，則當t在什么范圍內變化時，直線l與⊙C相交？此時，若直線l被⊙C所截得的弦長為a，試求a2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（2，0）和點B（1，﹣ ）分別代入y= x2+mx+n中，得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式：y= x2﹣1

（2）

解：①將P點縱坐標代入（1）的解析式，得：

x2﹣1=﹣ +2t，x= ，

∴P（ ，﹣ +2t），

∴圓心C（ ，﹣ +t），

∴點C到直線l的距離：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；

而OP2=8t+1+（﹣ +2t）2，得OP=2t+ ，半徑OC=t+ ；

∴直線l與⊙C始終保持相切．

②Ⅰ、由①可知，若直線l與⊙C相切，則：2t﹣ =t+ ，t= ；

∴當0＜t＜ 時，直線l與⊙C相交；

Ⅱ、∵0＜t＜ 時，圓心C到直線l的距離為d=|2t﹣ |，又半徑為r=t+ ，

∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t2+15t，

∴t= 時，a的平方取得最大值為

【解析】（1）所求函數的解析式中有兩個待定系數，直接將A、B兩點坐標代入即可得解．（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據P點的縱坐標可表示出C點的縱坐標，進而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關系．
②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點C的位置關系（需要考慮到C到直線l的表達方式）．
在第二問中，a2最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長，此時圓心C應在直線l上，根據該思路即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．