Question

如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F．H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．

(1)求證：BF＝AC；

(2)求證：CE＝BF；

(3)CE與BG的大小關系如何？試證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：因為CD⊥AB，∠ABC＝45°， 　　所以△BCD是等腰直角三角形．所以BD＝CD． 　　在Rt△DFB和Rt△DAC中， 　　因為∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，所以∠DBF＝∠DCA． 　　又因為∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， 　　所以△DFB≌△DAC．所以BF＝AC． 　　(2)證明：在Rt△BEA和Rt△BEC中， 　　因為BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE． 　　又因為BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°． 　　所以Rt△BEA≌Rt△BEC．所以CE＝AE＝AC． 　　又由(1)，知BF＝AC，所以CE＝BF． 　　(3)CE＜BG． 　　證明：如下圖，連接CG． 　　因為△BCD是等腰直角三角形，所以BD＝CD． 　　又因為H是BC邊的中點，所以DH垂直平分BC． 　　所以BG＝CG． 　　在Rt△CEG中，因為CG是斜邊，CE是直角邊， 　　所以CE＜CG．所以CE＜BG．